Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

A.  Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) adalah kalimat terbuka yang memuat dua variabel (peubah) yang berpangkat satu dan dihubungkan tanda = (sama dengan). Dikatakan Persamaan Linear karena pada bentuk persamaan ini jika digambarkan dalam bentuk grafik, maka akan terbentuk sebuah grafik garis lurus (linear).

Bentuk umum persamaan linear dua variabel :

Unsur-unsur persamaan :

1.  Suku

          Suku yaitu bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Setiap suku di pisahkan dengan tanda baca penjumlahan ataupun pengurangan.

     Contoh:

     6x - y + 4, maka suku-suku dari persamaan tersebut adalah 6x, -y, dan 4.

2.  Variabel

           Variabel, yaitu peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x dan y.

     Contoh:

     Mika memiliki 2 buah nanas dan 5 buah jeruk. Jika dituliskan dalam bentuk persamaan adalah 2x + 5, dimana:

     Nanas = x

      Jeruk = y

3.  Koefisien

           Koefisien yaitu suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. Koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan variabel, karena penulisan sebuah persamaan koefisien berada di depan variabel.

     Contoh:

     Mika memiliki 2 buah nanas dan 5 buah jeruk. Jika di tulis dalam bentuk persamaan adalah 2x + 5y, dimana 2 dan 5 adalah koefisien. Angka 2 adalah koefisien x dan 5 adalah koefisien y.

4.  Konstanta

         Konstanta yaitu bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, maka nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai perubahnya.

     Contoh:

     2x + 5y + 7, dari persamaan tersebut konstanta adalah 7 , karena 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya.

Itulah beberapa hal yang berhubungan tentang bentuk umum spldv untuk kita pahami sebelum kita memahami tentang rumus SPLDV.

Masalah 1.

Tentukan sebanyak mungkin penyelesalan dari persamaan x + y = 4!

Penyelesaian :

Menentukan penyelesaian persamaan x + y = 4, kita perlu terlebih dahulu mengetahui himpunan semesta dari variabel x dan y. Misalkan himpunan semesta variabel x dan y dalam persamaan adalah bilangan asli, maka penyelesaian dari persamaan  dapat ditentukan sebagai berikut:

Jadi penyelesaian dari persamaan linear dua variabel untuk x dan y adalah anggota himpunan bilangan asli (1, 3), (2, 2), dan (3, 1). Terdapat tiga selesaian (4, 0) bukanlah penyelesaian dari x + y = 4 untuk x dan y anggota himpunan bilangan asli karena y = 0 bukan anggota bilangan asli.

Lain halnya jika himpunan semesta dari x dan y dalam persamaan adalah bilangan bulat. Penyelesaian dari persamaan x + y = 4  dengan x dan y adalah anggota himpunan bilangan bulat dapat ditentukan sebagai berikut.

Jadi, penyelesaian dari persamaan linear dua variabel untuk x dan y adalah anggota himpunan bilangan bulat adalah :

(-1,5), (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0), (5,-1), (6,-2), ...

B.  Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Masalah 2.

Indri membeli sebuah celana dan 2 buah baju kaos, ia harus membayar Rp100.000,-. Adapun Nadia membeli sebuah celana dan 3 buah baju kaos, ia harus membayar Rp120.000,-. Tentukan model matematika dari permasalahan ini!

Penyelesaian :

Ø   Nyatakan objek-objek yang dibicarakan dalam bentuk pemisalan atau variabel.

     Misalkan :

     Baju = x

     Celana = y     

Ø  Rancang permasalahan di atas ke dalam model matematika sesuai dengan keterangan yang ada yaitu:

     x + 2y = 100.000 ............ pers (1)

     x + 3y = 120.000 ............ pers (2)

Ø  Dengan demikian model matematika dari permasalahan tersebut adalah :

    x + 2y = 100.000

    x + 3y = 120.000 

   

    Kedua persamaan tersebut dikatakan membentuk Sistem persamaan Linear Dua Variabel

C.  Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Metode Substitusi

       Metode substitusi yaitu salah satu metode penyelesaian masalah SPLDV dengan cara mengganti nilai suatu variabel di suatu persamaan dari persamaan lainnya. Terdapat beberapa langkah yang perlu dilakukan untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi. Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi, yaitu:

Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel : 

a.  Ubah salah satu persamaan menjadi bentuk x=(c-by)/a  atau y=(c-ax)/b

b.  Substitusi nilai x atau y pada langkah pertama ke persamaan yang lainnya.

c.  Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai x atau y.

d.  Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah ketiga pada salah satu persamaan untuk                 mendapatkan nilai dari variabel yang belum diketahui.

e.  Lakukan hingga mendapatkan penyelesaiannya nilai x atau y.

TIPS: Persamaan yang diubah bentuknya sebaiknya persaman dengan bentuk paling sederhana.

Contoh : 

Rudi, Rizki, dan Randi mendatangi toko buah bersama-sama. Rudi membeli 2 kg anggur dan 1 kg jeruk dan ia harus membayar Rp125.000,00, sedangkan Rizki membeli 1 kg anggur dan 2 kg jeruk dengan harga Rp . Tentukanlah:

a.  Harga 1 kg anggur dan 1 kg jeruk.

b.  Jika Randi mempunyai uang sebesar Rp  berapa kg anggur dan jeruk yang dapat dibelinya?

Diketahui:

 Rudi membeli 2 kg anggur dan 1 kg jeruk seharga Rp125.000. Harga tiga buah kemeja dan lima buah topi adalah Rp 100.000,00.

Ditanyakan:

a.  Harga 1 kg anggur dan 1 kg jeruk.

b. Jika Randi mempunyai uang sebesar Rp175.000,00, berapa kg anggur dan jeruk yang dapat dibelinya?

Penyelesaian:  

Membuat pemisalan

Misalkan :

harga 1 kg anggur = x

harga 1 kg jeruk = y

Sehingga diperoleh persamaan :

2x + y = 125.000 ............... Persamaan (1)

x +2y = 100.000 ............... Persamaan (2)

a. Harga 1 kg anggur dan 1 kg jeruk.

    Menentukan penyelesaian dengan metode subtitusi  

  Ø Langkah 1: Ubah salah satu persamaan di atas. Misalkan yang akan diubah adalah persamaan sehingga menjadi :

 2x + y = 125.000 ............... Persamaan (1)

 y = 125.000 - 2x .................. Persamaan (3)

  Ø Langkah 2: Subtitusi persamaan (3) ke persamaan (2)

      x + 2(125.000 - 2x) = 100.000

           x + 250.000 - 4x = 100.000

                                -3x = 100.000 - 250.000

                                -3x = -150.000

                                   x = -150.000/-3

                                   x = 50.000

   Ø Langkah 3: Subtitusi nilai x = 50.000 ke salah satu persamaan di atas. Misalkan nilai x = 50.000 disubtitusi pada persamaan (1), maka diperoleh:

       2(50.000) + y = 125.000

           100.000+ y = 125.000

                           y = 125.000 - 100.000

                           y = 25.000

    Jadi, harga 1 kg anggur adalah Rp50.000,00 dan harga 1 kg jeruk adalah Rp25.000,00.

b. Jika Randi mempunyai uang sebesar Rp175.000,00, berapa kg anggur dan jeruk yang dapat dibelinya? (Soal Open Ended) 

     Ø Kita misalkan model matematika dari kombinasi banyak anggur dan jeruk yang dibeli oleh Randi adalah:

         50.000x + 25.000y = 175.000

         Dimana: x = banyaknya anggur yang dibeli Randi

                        y = banyaknya jeruk yang dibeli Randi

    Ø Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, maka ada banyak kemungkinan solusi yang lepat, salah satunya yaitu:

        1) Jika Randi membeli 1 kg anggur yang harganya Rp50.000,00 maka banyaknya jeruk yang dapat dibeli adalah:

             50.000 (1) + 25.000 y = 175.000

                                  25.000 y = 175.000 - 50.000

                                  25.000 y = 125.000

                                              y =125.000/25.000

                                              y = 5

            Jadi, banyaknya jeruk yang dapat dibeli Randi jika ia membeli 1 kg anggur adalah 5 kg jeruk.

       2) Jika Randi membeli 2 kg anggur yang harganya Rp50.000,00 maka banyaknya jeruk yang dapat dibeli adalah:

            50,000 (2) + 25.000 y = 175.000

                100.000 + 25.000 y = 175000

                                 25.000 y = 175.000 - 100.000

                                 25.000 y = 75.000

                                             y = 75.000/25.000

                                             y = 3

             Jadi, banyaknya jeruk yang dapat dibeli Randi jika dia membeli 2 kg anggur adalah 3 kg jeruk.

2. Metode Eliminasi

        Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah dengan menggunakan metode eliminasi. Dengan menggunakan metode ini, kita harus mengeliminasi/menolkan salah satu variabel dengan cara penjumlahan ataupun pengurangan.

Langkah-langkah metode eliminasi :

a.  Nyatakan kedua persamaan ke bentuk 

  

b.  Samakan koefisien dari variabel yang akan dieliminasi/dinolkan, melalui cara mengalikan dengan bilangan yang sesuai (tapa memperhatikan tanda)

c. Jika koefisien dari variabel bertanda sama (sama positif atau negatif), maka kurangkan kedua persamaan.

d.  Jika koefisien dari variabel tandanya berbeda (posiif dan negatif), maka jumlahkan kedua persamaan.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.

Tentukan penyelesaian dari SPLDV yang memuat persamaan-persamaan :

2x + y = 5

3x - 2y = 11

Penyelesaian:

Ø    Langkah 1 :

  Untuk menentukan penyelesaiannya, pertama kita harus mengeliminasi salah satu variabelnya. Misalkan kita akan mengeliminasi variabel x, maka kita harus menyamakan koefisien x dari kedua persamaan tersebut. Koefisien x pada persamaan 1 dan 2 secara berturut-turut adalah 2 dan 3. Sehingga kita harus menyamakan koefisien x dari kedua persamaan tersebut menjadi KPK dari 2 dan 3, yaitu 6, dengan mengalikan persamaan 1 dengan 3 dan persamaan 2 dengan 2.

2x +  y = 5          |×3|      6x + 3y = 15

3x - 2y = 11      |×2|        6x - 4 y = 22                 –

                            7 y = -7

                               y = (-7) / 7

                                                  y = -1

Ø   Langkah 2

     Dengan cara yang sama, kita dapat mengeleiminasi variabel y untuk mendapatkan nilai dari x,

2x +  y = 5          |×2|      4x + 2y = 10

3x - 2y = 11        |×1|       3x - 2y = 11               +

                             7x = 21

                               x = 21 / 7

                                                  x = 3

Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah x = 3 dan y = 1.

Contoh 2.

Di toko Pak Budi harga lima buah kemeja dan delapan buah topi adalah Rp.1.150.000,00 sedangkan tiga buah kemeja dan lima buah topi berharga Rp.750.000,00. Tentukan harga masing-masing topi dan kemeja! 

Diketahui:

Harga lima buah kemeja dan delapan buah topi adalah Rp.1.150.000,00.

Harga tiga buah kemeja dan lima buah topi adalah Rp.700.000,00

Ditanya:

Berapa harga sebuah kemeja dan sebuah topi? 

Penyelesaian:

Membuat pemisalan

Misalkan:

Harga 1 buah kemeja = x

Harga 1 buah topi = y

Sehingga diperoleh persamaan

5x + 8y = 1.150.000

3x + 5y = 700.000

Menentukan penyelesaian dengan metode eliminasi 

Ø Langkah 1 (eliminasi variabel x)

5x + 8y = 1.150.000           |×3|      15x + 24y = 3.450.000

3x + 5y = 700.000              |×5|      15x + 25y = 3.500.000     –               

                                                 -y = -50.000

                                                  y = 50.000

Ø Langkah 2 (eliminasi variabel y)

5x + 8y = 1.150.000           |×5|      25x + 40y = 5.750.000

3x + 5y = 700.000              |×8|      24x + 40y = 5.600.000     –               

                                                   x = 150.000                

Jadi, harga 1 buah kemeja adalah Rp.150.000,00 dan 1 buah topi adalah Rp. 50.000,00.

3. Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi)

            Metode gabungan adalah salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel, yang mana di dalam proses pemecahan masalahnya menggabungkan dua metode yaitu metode eliminasi dan substitusi ataupun sebaliknya. Metode gabungan ini biasanya dipakai sebagai cara alternatif untuk menentukan nilai dengan lebih cepat. Metode ini digunakan dengan cara memakai metode eliminasi untuk mencari nilai satu variabel dan memakai metode substitusi untuk mencari nilai variabel lainnya.

Contoh 1

Jumlah dua bilangan cacah sama dengan 37, sedangkan selisihnya sama dengan 7. Hitung    hasil kali kedua bilangan itu?

Diketahui:

Jumlah dua bilangan cacah adalah 37.

Selisih kedua bilangan cacah tersebut adalah 7.

Ditanya:

Hitunglah hasil kali kedua bilangan itu?

Penyelesaian:

Membuat pemisalan

Misalkan    : Bilangan cacah pertama = x

                     Bilangan cacah kedua = y

Mendesain model matematika dari permasalahan di atas:

x + y = 37        (persamaan 1)

x - y = 7           (persamaan 2)

Menentukan penyelesaian permasalahan di atas di atas dengan menggunakan metode gabungan (Metode eliminasi-substitusi)  

Ø   Langkah 1 (eliminasi variabel y)

              x + y = 37          

               x - y = 7         +              

2x = 44

  x = 44 / 2

  x = 22    

Ø   Langkah 2 (Substitusi nilai variabel  ke persamaan 1)

     Sehingga diperoleh :

     x + y   = 37

     22 + y = 37

             y = 37 - 22

             y = 15

Jadi, dua bilangan cacah yang jika dijumlah hasilnya adalah 37 dan selisihnya adalah 7 yaitu bilangan 22 dan 15.

Contoh 2.

Azka membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar Rp 43.000,-, sedangkan Intan membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp 47.000,-. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel?

Diketahui:

2 kg mangga dan 1 kg apel seharga Rp 43.000,-

1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp 47.000,-

Ditanya:

Harga 5 kg mangga dan 3 kg apel?

Penyelesaian:

Membuat pemisalan

Misalkan : harga 1 kg mangga = x

                  harga 1 kg apel = y

Mendesain model matematika dari permasalahan di atas:

2x + y = 43.000   (persamaan 1)

x + 2y = 47.000   (persamaan 2)

Menentukan penyelesaian permasalahan di atas di atas dengan menggunakan metode gabungan (Metode eliminasi-substitusi)

Ø   Langkah 1 (Eliminasi variabel y)

2x + y = 43.000           |×2|      4x + 2y = 86.000

x + 2y = 47.000           |×1|        x + 2y = 47.000     –               

                                      3x = 39.000  

                                        x = 39.000 / 3

                                        x = 13.000

Ø   Langkah 2 (Substitusi nilai variabel  ke persamaan 1)

2x + y = 43.000

2(13.000) + y = 43.000  

     26.000 + y = 43.000

                    y = 43.000-26.000

                    y = 17.000

Ø    Langkah 3 (Mencari nilai )

     5x + 3y  = 5 (13.000) + 3 (17.000)

       = 65.000 + 51.000

             = 116.000 

Jadi, harga 5 kg mangga dan 3 kg apel adalah Rp 116.000,-

Share: